$q$-差分方程的零阶奇异解

我们考察一阶 $q$-差分方程 \begin{equation}\tag{\dag} f(qz)^n=R(z,f), \end{equation}其中 $q\not=0,1$ 为常数，$R(z,f)$ 对两个变量都是有理式。当 $|q|\not=1$ 时，我们证明若 $(\dag)$ 有零阶超奇异解析解，则 $(\dag)$ 化简为 $q$-差分线性方程或 Riccati 方程，或可转化为 $q$-差分 Riccati 方程。在自治情况下，给出 $(\dag)$ 的显式奇异解析解。鉴于 $(\dag)$ 可转化为差分方程，我们进一步讨论复合函数 $f(\omega(z))$ 的增长，其中 $\omega(z)$ 为满足 $\omega(z+1)=q\omega(z)$ 的整个函数，并展示文献中讨论的 $q$-差分 Painlev\'e 性质如何适用于 $q$-差分方程。