超越性奇点复解析解与时延复数 Schrodinger 方程

本文聚焦于研究微分差分方程 $$f'(z) = a(z)f(z+1) + R(z, f(z)), \quad R(z, f(z)) = \frac{P(z, f(z))}{Q(z, f(z))},$$ 其中关于 $f(z)$ 的两个非零多项式 $P(z, f(z))$ 和 $Q(z, f(z))$ 互素，具有小型奇点复解析系数，$a(z)$ 为关于 $f(z)$ 的非零小型奇点复解析函数。该方程包含时延复数 Schrodinger 方程作为特殊情形。若 $f(z)$ 为具有亚正常生长的该方程的超越性奇点复解析解，则我们推导该方程的所有可能形式。此外，在这些假设下，我们根据 $P(z, f(z))$ 和 $Q(z, f(z))$ 的次数对这些特定形式进行分类，以建立超越性奇点复解析解存在的必要条件。特别地，当 $P$ 的次数减去 $Q$ 的次数为 2 时，我们证明该方程化简为 Riccati 微分方程。最后提供示例以支持我们的结果。