一阶差分方程亚纯解的存在性

本文表明，如果 \begin{equation}\label{abstract_eq} f(z+1)^n=R(z,f),\tag{\dag} \end{equation} 其中 $R(z,f)$ 是关于 $f$ 的有理函数且具有亚纯系数，并且 $\deg_f(R(z,f))=n$，存在一个容许的亚纯解，那么要么 $f$ 满足一个具有亚纯系数的差分线性方程或 Riccati 方程，要么 \eqref{abstract_eq} 可以被转化为具有特定亚纯或代数体系数的一列十个方程中的一个。特别地，如果 \eqref{abstract_eq}（其中 $\deg_f(R(z,f))=n$ 的假设被舍弃）具有有理系数和一个超阶 $<1$ 的超越亚纯解 $f$，那么要么 $f$ 满足一个具有有理系数的差分线性方程或 Riccati 方程，要么 \eqref{abstract_eq} 可以被转化为一列五个方程中的一个，这组方程由四个差分 Fermat 方程和一个作为对称 QRT 映射特例的方程组成。所有这些方程的解均以 Weierstrass 或 Jacobi 椭圆函数表示，或者以作为差分 Riccati 方程解的亚纯函数表示。这提供了 Steinmetz 对 Malmquist 定理的推广的自然差分类比。