关于一类一阶 q-差分方程解析解的延拓

本文利用 Banach 不动点定理研究以下一阶 $q$-差分方程亚纯解的存在性：\begin{align}\tag{{\dag}}\label{dagger} y(qz)=\frac{a_1(z)y(z)+a_2(z)y(z)^2+\dots+a_p(z)y(z)^p}{1+b_1(z)y(z)+\cdots +b_t(z)y(z)^t}, \end{align} 其中 $q\in \mathbb{C},$ $a_1(z), \dots, a_p(z); b_1(z), \dots, b_t(z)$ 均为亚纯函数。我们建立了保证可延拓至整个复平面 $\mathbb{C}$ 的亚纯解存在性与唯一性的充分条件。更确切地，我们得到以下结果。若 $\left | q \right |\geq 3$ 且 $$|a_1(z)| = \max_{1 \le j \le p} |a_j(z)| \le \frac{1}{|z|}, \quad \max_{1 \le k \le t} |b_k(z)| \le \frac{1}{|z|}, \quad z \in \{\, |\Re(z)| \ge \rho > 0 \,\},$$ 且 $y(0)\ne \infty,$ 则我们证明~\eqref{dagger} 在 $D(\rho),$ 中允许唯一的亚纯解，且该解可亚纯延拓至 $\mathbb {C}.$ 此外，若 $a_1(z)\equiv 0,$ 结论仍然成立。进一步地，若 $\left | q \right |\geq 6$ 且 \begin{gather*} |a_1(z)| \le \frac{1}{|q|}, \quad |a_j(z)| \le |q|^{|z|} \quad (2 \le j \le p), \quad |b_k(z)| \le |q|^{|z|} \quad (1 \le k \le t), \\[4pt] z \in D(\rho,\sigma) = \{\, z : |\Re(z)| \le \rho,\; |\Im(z)| \le \sigma, \,\, \rho>0,\,\, \sigma>0 \,\}, \end{gather*} 且 $y(0)\ne \infty,$ 则我们证明 \eqref{dagger} 在 $D(\rho, \sigma),$ 中允许唯一的亚纯解，该解亦可亚纯延拓至 $\mathbb {C}.$ 在 $a_1(z)\equiv 0$ 的情形下，此结论依然成立。