对半分割分治递推式的恒等式与周期振荡

我们研究如下形式的分治递推式 \begin{equation*} f(n) = \alpha f(\lfloor \tfrac n2\rfloor) + \beta f(\lceil \tfrac n2\rceil) + g(n) \qquad(n\ge2), \end{equation*} 其中给定 $g(n)$ 与 $f(1)$，且 $\alpha,\beta\ge0$ 并满足 $\alpha+\beta>0$；此类递推式常见于计算机算法分析、计数系统、组合序列及相关领域。我们证明在关于 $g(n)$ 的最优（当且仅当）条件下，解恒满足如下简单\emph{恒等式} \begin{equation*} f(n) = n^{\log_2(\alpha+\beta)} P(\log_2n) - Q(n) \end{equation*}。该形式不仅是一个恒等式，也是渐近展开，因为 $Q(n)$ 为更小阶。我们给出了周期函数 $P$ 的\emph{连续性}显式形式，以及其他若干光滑性性质。我们展示了如何将结果轻松应用于文献中收集的数十个具体例子，以及如何在不同方向上推广。我们的证明方法出奇地简单且初等，却对理论适用的所有例子给出了最强类型的结果。