关于一种变形 Freud 权函数的性质

我们研究首一多项式 $P_n(z)$ 关于变形（亦称半经典）Freud 权函数 \begin{equation*} w_{\alpha}(x;s,N)=|x|^{\alpha}{\rm e}^{-N\left[x^{2}+s\left(x^{4}-x^{2}\right)\right]}, ~~x\in\mathbb{R}, \end{equation*} 正交的递推系数，其中参数 $\alpha>-1,~N>0,~s\in[0,1]$。我们证明递推系数 $\beta_{n}(s)$ 满足第一离散 Painlevé 方程（记为 d${\rm P_{I}}$）、一个微分-差分方程以及一个关于 $s$ 的二阶非线性常微分方程（ODE）。这里 $n$ 是由 $w_{\alpha}(x;s,N)$ 生成的 Hankel 矩阵的阶数。我们描述了三种情形下递推系数的渐近行为：(i) $s\rightarrow0$，$n,N$ 有限，(ii) $n\rightarrow\infty$，$N$ 有限，(iii) $n, N\rightarrow\infty$，使得比值 $r:=\frac{n}{N}$ 远离 $0$ 且接近于 $1$。我们还研究了 d${\rm P_{I}}$ 正解的存在性与唯一性。此外，我们利用阶梯方法推导了多项式 $P_n(z)$ 满足的二阶线性 ODE。发现当 $n\rightarrow\infty$ 时，该线性 ODE 变为双合流 Heun 方程。本文最后研究了当 $n$ 趋于无穷时与 $w_{\alpha}(x;s,N)$ 相关的 Hankel 行列式 $D_{n}(s)$。