具有多项式独立项的对半划分分治递推的显式解

对半划分分治递推，形式为 $x_n =a\cdot x_{\left\lceil{n}/{2}\right\rceil}+a\cdot x_{\left\lfloor{n}/{2}\right\rfloor}+p(n)$, $n\geq 2$，出现在应用数学的许多领域，从算法分析到系统发育平衡指数的优化。求解这些方程的主定理并不提供解的显式表达式，仅给出其大-$\Theta$ 增长阶。在本文中，我们针对此类递推，在给定初始条件 $x_1$ 且独立项 $p(n)$ 为 $\lceil{n}/{2}\rceil$ 和 $\lfloor{n}/{2}\rfloor$ 的多项式时，给出了解 $x_n$ 的显式表达式（用 $n$ 的二进制分解表示）。