经典正交多项式的算法

本文中，针对超几何型微分方程 $\sigma(x) y''(x) + r(x) y'(x) + \lambda_n y(x) = 0$ 的正交多项式解 $p_n(x)$，推导了递推方程 $p_{n+1}(x) = (A_n x + B_n) p_n(x) - C_n p_{n-1}(x)$ 与导数规则 $\sigma(x) p'_n(x) = \alpha_n p_{n+1}(x) + \beta_n p_n(x) + \gamma_n p_{n-1}(x)$ 以及 $\sigma(x) p'_n(x) = (\alpha_n\text{-tilde} x + \beta_n\text{-tilde}) p_n(x) + \gamma_n\text{-tilde} p_{n-1}(x)$ 的显式公式，这些公式仅依赖于系数 $\sigma(x)$ 与 $\tau(x)$，而它们自身分别是关于 $x$ 次数不超过 2 和 1 的多项式。此问题的部分解先前由 Tricomi 发表，近期由 Yáñez、Dehesa 与 Nikiforov 发表。