二阶全 holonomic 序列的终极符号

若实值序列 $f = \{ f(n) \}_{n \in \mathbb{N}}$ 满足线性递推式 $f (n + 2) = P (n) f (n + 1) + Q (n) f (n)$，其中 $P, Q \in \mathbb{R}(x)$ 为有理函数，则称其为二阶 holonomic 序列。我们研究此类序列的终极符号，即当 $n$ 足够大时，序列符号遵循的重复模式。对于每个 $P$, $Q$，我们确定 $f$ 可能具有的所有终极符号，并展示它们如何划分初始值的空间。这完成了 Neumann、Ouaknine 和 Worrell 先前工作中已解决的某些受限情况的研究。作为一个推论，当 $P$, $Q$ 有有理系数时，$f$ 要么具有长度为 $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$ 或 $12$ 的终极符号，要么永远不会进入重复符号模式。我们还给出一个在绝大多数情况下找到 $f$ 终极符号（或确定不存在）的部分算法。