通过伴随矩阵方法研究线性递推序列的对数凹性与无限对数凹性

我们研究满足系数为线性函数的 $d$ 阶线性递推（即 P 递归或 holonomic 序列）的实数序列 $(a_n)_{n \ge 0}$ 的对数凹性问题。将递推式写成伴随矩阵形式 $\mathbf{v}_{n+1} = M_n\mathbf{v}_n$，其中 $M_n = nA + B$，我们证明对数凹算子 $\mathcal{L}(a_n) = b_n \coloneqq a_n^2 - a_{n+1}a_{n-1}$ 是状态向量 $\mathbf{v}_n$ 中的二次型，我们识别出矩阵 $Q_n = Q^{(0)} + nQ^{(1)}$，其正半定义性给出序列对数凹性的充分条件。对于系数为常数的二阶递推序列，我们证明了序列为 $\infty$-对数凹的紧密（必要且充分）准则，这源于 $\mathcal{L}(a_n)$ 本身是几何序列，因此 $\mathcal{L}^2(a_n) = 0$ 在全体上恒为零。我们获得了相同紧密准则用于被 $\mathcal{L}$ 固定的序列，以及满足支配根渐近行为的 P 递归序列。我们留下一些关于这些准则在更一般情况下的破裂的进一步见解。