Gamma 比率级数的对数凸性与对数凹性及其应用

若对于任意 $m\geq{1}$，$P_{m}^2-P_{m+1}P_{m-1}$ 是一个系数非负的多项式，则多项式序列 ${P_m}_{m\geq0}$ 是 $q$-对数凹的。我们针对系数为参数的非负连续函数的形式幂级数，引入了这一概念的类比。我们考虑了四种此类幂级数，其参数依赖性由 Gamma 函数的比率表示。我们证明了六个定理，阐述了这些级数的各种形式的 $q$-对数凹性和凸性。这些研究的主要 motivating 例子是超几何函数。在论文的最后一节，我们展示了作为一般定理直接应用而获得的 Kummer 函数、Gauss 函数比率以及广义超几何函数的新不等式。