伽马函数之比的完全单调性及关于多项式系数的若干组合不等式

对 $m,n\in \mathbb{N}$，令 $0 < \alpha_i,\beta_j,\lambda_{ij} \leq 1$ 满足 $\sum_{j=1}^n \lambda_{ij} = \alpha_i$、$\sum_{i=1}^m \lambda_{ij} = \beta_j$，且 $\sum_{i=1}^m \alpha_i = \sum_{j=1}^n \beta_j \leq 1$。我们证明伽马函数之比 \begin{equation*} \hspace{-15mm}t \mapsto \frac{\prod_{i=1}^m \Gamma(\alpha_i t + 1) \prod_{j=1}^n \Gamma(\beta_j t + 1)}{\prod_{i=1}^m \prod_{j=1}^n \Gamma(\lambda_{ij} t + 1)} \end{equation*} 在 $(0,\infty)$ 上是对数完全单调的。该结果补充了 Ouimet (2018)、Qi 等人 (2018) 所证多项式概率的对数完全单调性，以及 Qi & Argawal (2019) 近期关于伽马函数之比相关函数完全单调性的综述。作为对数凸性的推论，我们得到了关于多项式系数的新组合不等式。