多项概率的完全单调性及其在单纯形上 Bernstein 估计量中的应用

设 $d\in \mathbb{N}$，并设 $\gamma_i\in [0,\infty)$、$x_i\in (0,1)$ 满足 $\sum_{i=1}^{d+1} \gamma_i = M\in (0,\infty)$ 且 $\sum_{i=1}^{d+1} x_i = 1$。我们证明\n\begin{equation*}\n a \mapsto \frac{\Gamma(aM + 1)}{\prod_{i=1}^{d+1} \Gamma(a \gamma_i + 1)} \prod_{i=1}^{d+1} x_i^{a\gamma_i}\n\end{equation*}\n在 $(0,\infty)$ 上完全单调。该结果推广了 Alzer（2018）对二项概率（$d=1$）所得的结论。作为对数凸性的推论，我们得到了关于多项系数的若干组合不等式。我们还展示了如何利用主要结果推导基于 $d$ 维单纯形上 Bernstein 多项式的统计密度估计中相关量的渐近公式。