高维边缘分布的结构

设 $G, G_1,\dots,G_N$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中标准高斯随机向量的独立副本，并记 $\Gamma = \sum_{i=1}^N \langle G_i,\cdot\rangle e_i$ 为标准高斯集合。我们证明，对任意集合 $A\subset S^{d-1}$，以指数级高概率，有 $$\sup_{x\in A} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \big| (\Gamma x)^\sharp_i - q_i\big| \le c \frac{ \mathbb{E} \sup_{x\in A} \langle G,x\rangle + \log^2N }{\sqrt N }.$$ 这里的每个 $q_i$ 为标准正态分布的 $\frac{i}{N+1}$ 分位点，$(\Gamma x)^\sharp$ 表示向量 $\Gamma x$ 的单调递增重排。该估计在可能的对数因子上是尖锐的，并且显著扩展了之前已知的界限。此外，我们证明类似的估计在更广泛的范围内成立：在将高斯分位点替换为相应的分位点后，相同现象仍然适用于广泛的随机向量类。