高斯噪声对非正规矩阵的正则化——带状 Toeplitz 与扭曲 Toeplitz 情形

我们考虑确定性矩阵的加性、多项式衰减随机扰动的谱,如下所述。设 $M_N$ 为确定性 $N\times N$ 矩阵,设 $G_N$ 为复 Ginibre 矩阵。我们考虑矩阵 $\mathcal{M}_N=M_N+N^{-\gamma}G_N$,其中 $\gamma>1/2$。令 $L_N$ 为 $\mathcal{M}_N$ 特征值的经验测度,我们给出一个一般的确定性等价定理,将 $L_N$ 与 $z-M_N$(其中 $z\in \mathbb{C}$)的奇异值联系起来。随后我们计算当 $M_N$ 为有限符号的上三角 Toeplitz 矩阵时 $L_N$ 的极限:若 $M_N=\sum_{i=0}^{\mathfrak{d}} a_i J^i$,其中 $\mathfrak{d}$ 固定,$a_i\in\mathcal{C}$ 为确定性标量,$J$ 为幂零矩阵 $J(i,j)={\bf 1}_{j=i+1}$,则当 $N\to\infty$ 时,$L_N$ 收敛于 $\sum_{i=0}^{\mathfrak{d}} a_i U^i$ 的定律,其中 $U$ 为复平面上单位圆上的均匀随机变量。我们还考虑了慢变对角线(扭曲 Toeplitz 矩阵)的情形,以及当 $\mathfrak{d}=1$ 时 $M_N$ 对角线上为独立同分布元素的情形。