非厄米带状含噪 Toeplitz 矩阵特征向量的局部化

我们在非常一般的设定下证明：对于受小随机扰动的非厄米有限带状 $N\times N$ Toeplitz 矩阵 $P_N$，其特征向量以高概率在大小为阶 $N/\log N$ 的集合上局部化。作为扰动，我们考虑具有零均值独立元素、有限矩并满足适当反集中界的 $N\times N$ 随机矩阵。我们通过 Grushin 问题表明，给定特征值 $z$ 的特征向量可由 $P_N-z$ 对应于其小奇异值的奇异向量的随机线性组合很好地近似。我们证明了扰动矩阵特征值局部分布的精确概率界，并对奇异向量进行详细分析，从而得出局部化结果。