关于随机非厄米特矩阵特征向量的离域化

我们研究具有独立同分布元素的随机矩阵的零向量和特征向量的离域化。设$A$为$n\times n$随机矩阵，其元素为独立同分布、零均值、单位方差的实次高斯变量。我们证明，以至少$1-e^{-\log^{2} n}$的概率，对任意实特征向量${\bf v}$及任意$m\in[\log^C n,n]$，有$$\min\limits_{I\subset[n],\,|I|= m}\|{\bf v}_I\| \geq \frac{m^{3/2}}{n^{3/2}\log^Cn}\|{\bf v}\|$$ 其中${\bf v}_I$表示${\bf v}$在$I$上的限制。进一步，当$A$的元素为复数、实部和虚部独立同分布时，我们证明以至少$1-e^{-\log^{2} n}$的概率，所有特征向量均离域，即对所有$m\in[\log^C{n},n]$有 $$\min\limits_{I\subset[n],\,|I|= m}\|{\bf v}_I\| \geq \frac{m}{n\log^Cn}\|{\bf v}\|$$ 。与相关工作比较，在独立同分布设定下$m\in[\log^{C'}{n},n/\log^{C'}{n}]$范围及更弱的概率估计中，我们对$\|{\bf v}_I\|$的下界改进了[M. Rudelson, R. Vershynin, Geom. Func. Anal., 2016]中得到的早期估计$\min\limits_{|I|= m}\|{\bf v}_I\| \geq c(m/n)^6\|{\bf v}\|$，以及[K. Luh, S. O'Rourke, arXiv:1810.00489]中建立的界$\min\limits_{|I|= m}\|{\bf v}_I\| \geq c(m/n)^2\|{\bf v}\|$（实设定）和$\min\limits_{|I|= m}\|{\bf v}_I\| \geq c(m/n)^{3/2}\|{\bf v}\|$（复设定）。正如实和复高斯矩阵的情形所示，我们的界至多相差多对数因子是最优的。我们对实$(n-1)\times n$随机矩阵的零向量导出了不含多对数误差因子的更强估计。