实椭圆矩阵特征向量的去局域化

我们研究了实随机矩阵特征向量去局域化现象，这些矩阵因正交变换而保持不变。对于这类样本而言，一个特有的现象是：当特征值的虚部接近实轴时，其关联特征向量通常更局域化；而对于单位仿射样本，所有特征向量在相同的水平上去局域化。更具体地，我们使用逆参与率（Inverse Participation Ratio，IPR）衡量向量x∈C^N的去局域化程度：IPR(x) = N|x|₄⁴ / |x|₂⁴ ≥ 1。IPR值越高，表明向量越局域化。利用一些典型旋转不变矩阵模型的 Schur 分解的精确分布，我们证明了在给定特征值λ且|Im(λ)| = y/√N时，关联特征向量的 IPR 沿分布收敛于仅取决于y的随机变量ℓy。我们进一步证明了ℓy 当y→0时收敛于3，当y→+∞时收敛于2，与观察到的现象一致。该结果在更高阶的 IPR 上以及在每个非对称参数τ∈[0,1[上的实椭圆 Ginibre 样本中得到证明，包括经典实 Ginibre 样本（τ=0）。