随机 Lévy 矩阵的局域化转变：局域相及临界点处本征矢的多重分形

对于大小为 $N \times N$ 的随机 Lévy 矩阵，其矩阵元以重尾分布 $P(H_{ij}) \propto N^{-1} |H_{ij} |^{-1-\mu}$ 提取，其中 $0<\mu<2$（方差无穷大），存在广延数量的有限本征值 $E=O(1)$，而最大本征值以 $E_{max} \sim N^{\frac{1}{\mu}}$ 增长。在此，我们通过一种在局域相内保持一致的强无序微扰展开来研究相应本征矢的局域化性质，该展开得出了其逆参与率（I.P.R.）$Y_q$ 作为连续参数 $0<q<+\infty$ 的函数。在 $0<\mu<1$ 区域，我们发现所有本征矢均局域化，但表现出某种多重分形：IPR 在阈值 $q>q_c$ 以上是有限的，但在原点附近的 $0<q<q_c$ 区域发散。在 $1<\mu<2$ 区域，只有对应于 $| E| \geq N^{\frac{(\mu-1)}{\mu(2+\mu)}}$ 区域的最大本征值中的亚广延部分 $N^{\frac{3}{2+\mu}}$ 保持局域化，而广延数量的其他较小能量态则发生离域化。对于广延数量的有限本征值 $E=O(1)$，局域化/离域化转变因此发生在对应于 Cauchy 矩阵的临界值 $\mu_c=1$ 处：相应临界本征态的逆参与率 $Y_q$ 遵循强多重分形谱，其特征由广义分形维数 $D^{criti}(q) = \frac{1-2q}{1-q} \theta (0 \leq q \leq \frac{1}{2})$ 表征，该谱此前已在有效无穷维空间中的各种其他局域化问题中被发现。