临界Erdős-Rényi图的去局域化转变

我们分析临界Erdős-Rényi图 $\mathbb G(N,d/N)$ 的邻接矩阵的特征向量，其中 $d$ 为 $\log N$ 阶。我们证明其谱分为两个阶段：谱中间的去局域化相，其中特征向量完全去局域化；以及谱边缘附近的半局域化相，其中特征向量本质上局域在少数顶点上。在半局域化相中，特征向量的质量集中在以共振顶点为中心的少数不相交球中，在每个球内它是径向指数衰减函数。相之间的转变是尖锐的，并表现为特征向量 $\mathbf w$ 的局域化指数 $\gamma(\mathbf w)$ 的不连续性，该指数通过 $\|\mathbf w\|_\infty / \|\mathbf w\|_2 = N^{-\gamma(\mathbf w)}$ 定义。我们的结果在最优区间 $\sqrt{\log N} \ll d \leq O(\log N)$ 内始终成立。