随机正则图上局域化转变附近本征态的统计性质

本文研究了随机正则图（RRG）上安德森模型中的本征函数动力学与空间关联以及能级关联。我们考虑安德森转变的临界点与离域相。在靠近转变点的离域相中，观测量在系统尺寸 $N$ 小于关联体积 $N_{\xi}$ 时呈现宽广的临界区，随后跨接到遍历行为。本征态关联使我们能够可视化控制转变附近有限尺寸标度的关联长度 $\xi \sim \log N_{\xi}$。临界到遍历的跨接非常特殊，因为临界点类似于局域相，而遍历区则以非常快的“扩散”为特征，类似于弹道输运。特别地，返回概率从临界区中随时间对数缓慢变化跨接到遍历区中指数快速衰减。在靠近转变点的离域相中，谱关联的特征是能级数目方差 $\Sigma_2(\omega)$ 随频率 $\omega$ 增大而从遍历行为 $\Sigma_2=\left(2/\pi^2\right)\ln\omega/\Delta$ 跨接到在 $\omega_c\sim (N N_{\xi})^{-1/2}$ 处的 $\Sigma_2\propto \omega^2$，并最终在 $\omega_{\xi}\sim N_{\xi}^{-1}$ 处跨接到泊松行为 $\Sigma_2 = \omega/\Delta$。我们发现精确对角化的结果与在有效超对称作用鞍点分析中得到的自洽方程的解完全一致。我们表明 RRG 模型可视为 $d$ 空间维度中安德森模型的一个复杂 $d\to\infty$ 极限。