超临界 Erdős-Rényi 图的局部律与特征向量完全离域化

我们证明了超临界 regime $pN \geq C\log N$ 下 Erdős-Rényi 图 $G(N, p)$ 的邻接矩阵的局部律，在此 regime 中 $G(N,p)$ 以高概率没有孤立顶点。在同一 regime 中，我们还证明了特征向量的完全离域化。这两个结果在互补的次临界 regime 中均不成立。我们的结果改进了 [11] 中的相应结果，将其一路扩展至临界尺度 $pN = O(\log N)$。我们证明的一个关键要素是一类新的用于稀疏随机向量的多线性大偏差估计，其仔细地平衡了系数的混合 $\ell^2$ 与 $\ell^\infty$ 范数与组合因子，使得我们能够证明足够强的集中性直至临界尺度 $pN = O(\log N)$。这些估计具有独立意义，我们期望它们更一般地有助于分析非常稀疏的随机矩阵。