稀疏Erdős-Rényi有向图的边缘普适性

设 $\mathcal A$ 为 Erd\H{o}s-R\'{e}nyi 有向图 $\mathscr G(N,p)$ 的邻接矩阵。我们将 $\mathcal A$ 的特征值记为 $\lambda_1^{\cal A},...,\lambda^{\cal A}_N$，且 $|\lambda_1^{\cal A}|=\max_i|\lambda_i^{\cal A}|$。对于 $N^{-1+o(1)}\leq p\leq 1/2$，我们证明在极高概率下 $$\max_{i=2,3,...,N} \bigg|\frac{\lambda_i^{\mathcal A}}{\sqrt{Np(1-p)}}\bigg| =1+O(N^{-1/2+o(1)})$$ 。此外，我们证明在单位圆附近，${\mathcal A}/\sqrt{Np(1-p)}$ 的局部特征值统计与实Ginibre系综一致。作为副产品，我们还证明 $\mathcal A$ 的所有非平凡特征向量完全离域。对于Hermitian随机矩阵，已知边缘统计对稀疏性敏感：在极稀疏情形下，需去除许多噪声随机变量（同时影响均值与涨落）才能恢复Tracy-Widom分布。我们的结果意味着，与Hermitian情形的对应结果相比，非Hermitian稀疏随机矩阵的边缘统计更为稳健。