Erdős-Rényi图与稀疏矩阵次大特征向量的噪声敏感性

我们考虑Erdős-Rényi图邻接矩阵的特征向量，并研究通过随机重采样矩阵元素所引起的其特征向量方向的变化。令$\mathbf{v}$为Erdős-Rényi图第二大特征值对应的特征向量。在随机选取给定矩阵的$k$个元素并对其进行重采样后，我们得到另一个特征向量$\mathbf{w}$，它对应于重采样过程所得矩阵的第二大特征值。我们证明，在某一稀疏性 regime 下，若$k\gg N^{5/3}$，则$\mathbf{w}$以高概率与$\mathbf{v}$“几乎”正交。另一方面，若$k\ll q^2 N^{2/3}$（其中$q$为稀疏性参数），我们观察到$\mathbf{v}$与$\mathbf{w}$“几乎”共线。这将Bordenave、Lugosi和Zhivotovskiy近期的工作推广到了Erdős-Rényi模型。