稀疏图的第二大特征对统计

我们发展了一种形式体系，用于在已知最大特征对统计的情况下，计算具有 $N\gg 1$ 个节点、有限平均连通度且有界最大度的加权稀疏图的第二大特征对统计。在对原始矩阵模型进行适当的压缩后，该问题可以转化为在带有虚构温度的球面上优化二次型的问题。我们使用腔方法和复本方法，通过辅助概率密度函数的自洽方程求解，并可通过一种在运行中强制特征向量正交的改进种群动力学算法进行求解。解析结果与大型（加权）邻接矩阵的数值对角化结果完全一致，重点关注随机正则图和 Erd\H{o}s-R\'enyi 图的情形。我们进一步分析了无偏随机游走的稀疏 Markov 转移矩阵的情形，其第二大特征对描述了具有最大弛豫时间的非平衡模式。我们还表明，种群规模为 $N_P$ 的种群动力学算法实际上并未像通常假设的那样捕获热力学极限 $N\to\infty$：种群动力学算法的精度作为 $N_P$ 的函数表现出强烈的非单调行为，因此必须选择一个最优规模 $N_P^\star=N_P^\star(N)$ 以最佳地再现有限大小 $N$ 的图的数值对角化结果。