尖峰总体模型中极端样本特征值与特征向量的渐近联合分布

在本文中，我们考虑一个数据矩阵 $X_N\in\mathbb{R}^{N\times p}$，其中所有行均为 $\mathbb{R}^p$ 中均值为零、协方差矩阵为 $\Sigma\in\mathbb{R}^{p\times p}$ 的独立同分布样本。此处总体矩阵 $\Sigma$ 是单位矩阵的有限秩扰动。这是 Johnstone 首先提出的“尖峰总体模型”。当 $N, p\to\infty$ 但 $N/p \to \gamma\in(1, \infty)$ 时，对于样本协方差矩阵 $S_N := X_NX_N^T/N$，我们建立了最大和最小几组特征值的联合分布。在每一组内部，它们的表现与从相应尺寸的高斯矩阵中提取的特征值相同。在不同组之间，我们还计算了高斯矩阵条目之间的协方差。作为推论，如果数据矩阵的所有行均为高斯分布，则这些组将是渐近独立的。此外，还获得了样本特征向量的渐近行为。它们的局部波动也是高斯的，且协方差已明确计算。