稀疏随机矩阵主特征向量的噪声敏感性

我们研究了稀疏随机对称矩阵主特征向量的噪声敏感性。设 $v$ 为 $N\times N$ 稀疏随机对称矩阵的主特征向量，该矩阵每行平均有 $d$ 个非零中心化元素。我们对矩阵中随机选取的 $k$ 个条目进行重采样，得到另一随机矩阵实现，其主特征向量为 $v^{[k]}$。基于近期关于稀疏随机矩阵的结果以及先前针对 Wigner 矩阵开发的噪声敏感性分析，我们证明：若 $d\geq N^{2/9}$，则在高概率意义下，当 $k \ll N^{5/3}$ 时，向量 $v$ 与 $v^{[k]}$ 几乎共线；反之，当 $k\gg N^{5/3}$ 时，向量 $v$ 与 $v^{[k]}$ 几乎正交。对于平均度为 $d \geq N^{2/9}$ 的 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图邻接矩阵，对应于第二大特征值的特征向量也有类似结果。