弱信号下信号加噪声矩阵模型特征向量的逐项极限定理

我们在具有挑战性的弱信号情形下，针对一大类信号加噪声随机矩阵模型，建立了其特征向量逐项极限的有限样本 Berry-Esseen 定理。信号强度由缩放因子 $\rho_n$ 通过 $n\rho_n$ 刻画，其中 $n$ 为随机矩阵的维数，且我们允许 $n\rho_n$ 以 $\log n$ 的速率增长。关键的技术贡献是一个尖锐的有限样本逐项特征向量扰动界。当 $n\rho_n$ 正比于 $\log n$ 时，现有关于高阶余项二到无穷范数的误差界并不充分。我们将一般的逐项特征向量分析结果应用于对称噪声矩阵补全问题、随机点积图，以及随机图的两个后续推断任务：混合成员随机块模型中纯节点的估计与随机图中潜位置的相等性假设检验。