高维噪声矩阵中稀疏子矩阵的检测

我们观测到一个 $N\times M$ 矩阵 $Y_{ij}=s_{ij}+\xi_{ij}$，其中 $\xi_{ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ 在 $i,j$ 上独立同分布，且 $s_{ij}\in \mathbb {R}$。我们检验原假设：对所有 $i,j$ 有 $s_{ij}=0$，备择假设为：存在某个大小为 $n\times m$ 的子矩阵，其元素显著，即 $s_{ij}\ge a>0$。我们提出了一种检验程序，并计算了渐近检测边界 $a$，使得当 $M\to\infty$, $N\to\infty$, $p=n/N\to0$, $q=m/M\to0$ 时，最大检验风险趋于 0。我们证明了在某些附加约束下，该边界是渐近锐利极小极大的。我们讨论了与其他检验问题的关系。我们提出了一种能在给定集合内适应未知 $(n,m)$ 的检验程序，并计算了自适应锐利速率。我们的检验程序在合成数据上的实现显示出对稀疏、非必为方阵的矩阵具有优良表现。我们将锐利极小极大结果扩展到不同方向：首先，扩展到方差未知的高斯矩阵；其次，扩展到具有指数族分布（非高斯）的随机变量矩阵；最后，扩展到针对高斯元素矩阵的双边备择假设。