高维体制下低秩矩阵的检测

我们研究在$n\to\infty$时从含噪观测${\bf X}_{0}+{\bf Z}$中检测低秩$n\times n$确定性矩阵$\mathbf{X}_{0}$的问题，其中${\bf Z}$是独立同分布$\mathcal{N}_{c}(0,\frac{1}{n})$元素的复高斯随机矩阵。得益于大随机矩阵理论结果，现在众所周知，如果${\bf X}_{0}$的最大奇异值$\lambda_{1}$满足$\lambda_{1}>1$，则有可能给出相合检验。在本文中，我们反证地证明在条件$\lambda_{1}<1$下，不存在相合检验。我们的证明相当简单，灵感来自先前针对秩1矩阵${\bf X}_{0}$情形的研究。