用于无噪声观测下时变协方差矩阵秩检验的秩检验

我们考虑一个 $d$ 维连续鞅 $X(t)$，其二乘 variation 矩阵为 $\langle X\rangle_t=\int_0^t \Sigma(s)\,ds$，并发展出对其点协方差矩阵 $\Sigma(t)$（$t\in[0,1]$）秩的检验方法。该过程在观测噪声下被观察，这是高频金融中微结构噪声模型的标准做法。我们检验原假设 ${\mathcal H}_0:rank(\Sigma(t))\le r$ 对抗局部备择 ${\mathcal H}_{1,n}:\lambda_{r+1}(\Sigma(t))\ge v_n$，其中 $\lambda_{r+1}$ 表示第 $(r+1)$ 大特征值，$v_n\downarrow 0$ 随样本量 $n\to\infty$。我们构造基于对准良好校准的局部谱协方差矩阵估计特征值的检验统计量。提供非渐近及渐近临界值，后者通过高斯正交集合的极大特征值得到。功效分析揭示在分离率 $v_n\thicksim (\underline\lambda_r^{-1/(\beta+1)}n^{-\beta/(\beta+1)})\wedge n^{-\beta/(\beta+2)}$ 下，检验在 $\Sigma$ 的 Hölder 正则性 $\beta$ 及 $\mathcal H_0$ 下可能的谱间隙 $\underline\lambda_r\ge 0$ 条件下具有渐近一致性。下界表明该速率是最优的。我们讨论了该速率为何远快于常规估计速率。理论通过仿真和来自不同期限德国政府债券的实际数据示例予以说明。