非对称性有益：非对称扰动低秩矩阵的特征值与特征向量分析

本文关注统计非对称性与谱方法之间的相互作用。假设我们感兴趣于估计一个秩为1且对称的矩阵$\mathbf{M}^{\star}\in \mathbb{R}^{n\times n}$，但仅观测到一个随机扰动的版本$\mathbf{M}$。噪声矩阵$\mathbf{M}-\mathbf{M}^{\star}$由零均值独立（但不必同方差）元素组成，因此一般不是对称的。例如，当我们对$\mathbf{M}^{\star}$的每个元素有两个独立样本并将其排列为一个{\em 非对称}数据矩阵$\mathbf{M}$时，就可能出现这种情况。目标是估计$\mathbf{M}^{\star}$的主特征值和特征向量。我们证明，数据矩阵$\mathbf{M}$的主特征值在特征值估计中可以比其（未调整的）主奇异值精确$O(\sqrt{n})$倍——直至某个对数因子。此外，任意线性形式的$\mathbf{M}$的主特征向量的扰动——例如逐元素特征向量扰动——被证明是良好可控的。这种特征分解方法完全自适应于噪声的异方差性，无需仔细的偏差校正或任何关于噪声方差的先验知识。我们还提供了更一般的秩-$r$情形的部分理论。核心结论是：以非对称方式排列数据样本并执行特征分解有时可能是有益的。