协方差算子秩的检验

我们如何辨别一个随机过程的协方差算子是否降秩,若是,其精确秩为多少?又如何能在给定置信水平下做到这一点?该问题对大量函数数据方法至关重要,无论通过函数 PCA 还是其他方法,这些方法都需要低维表示。困难在于,该判定需基于过程的独立同分布重复观测,且观测是离散的并受到测量误差污染。这给经验协方差增加了一个脊,掩盖了底层维度。我们构建了一个受矩阵补全启发的检验统计量,它通过度量经验协方差非对角元素在给定有限秩协方差上的最优最小二乘拟合来规避此问题。对于足够大的固定网格,我们确定了当重复次数增长时该统计量的渐近原假设分布。随后我们利用它构造了一个逐步检验过程的 bootstrap 实现,以控制对应于形式化上述问题的假设族的族wise 误差率。在最小正则性假设下,我们证明了该过程是一致的且其 bootstrap 实现是有效的。该过程规避了平滑及相关的平滑参数,对测量误差的异方差性不敏感,且不假设低噪声机制。广泛的模拟研究揭示了优异的实际性能,在广泛设置下稳定,并通过两个数据分析进一步说明了该过程。