含噪特征向量的高维正态性

我们研究了在弱噪声存在下大型对称矩阵的特征向量联合分布。我们的主要结论断言，特征向量正交矩阵中的每一个子矩阵都收敛于一个多维高斯分布。证明过程涉及分析随机特征态方程（SEE），该方程描述了由矩阵值布朗运动诱导的、取值于李群的特征向量流。我们考虑相关的有色特征向量矩流，其在粒子构型空间上定义了一个 SDE。该流将 Bourgade 与 Yau（2017）首次引入的特征向量矩流推广到了多色情形。然而，由于半群核缺乏正性，它不再由构型空间上的潜在马尔可夫过程所驱动。尽管如此，我们证明了该动力学具有充分的平均衰减与压缩性质。这使得我们能够建立有色特征向量矩流达到平衡的最优松弛时间，并证明特征向量的联合渐近正态性。在随机矩阵理论中的应用包括：当相应特征值位于谱的体态时，一般 Wigner 型矩阵与稀疏图模型的联合特征向量分布的显式计算；以及当特征向量对应于小能级时 L\'evy 矩阵联合特征向量分布的计算。