具有各向同性高斯噪声的随机矩阵特征值与扩散张量成像实验设计

在材料科学和医学成像应用中，对不同物理性质进行张量值和矩阵值测量日益普及。此类多元数据的特征值和特征向量提供了新颖且独特的信息，但代价是需要更复杂的统计分析。在本研究中，我们推导了在 $m \times m$ 对称随机矩阵 $D$ 伴有各向同性矩阵变量高斯噪声这一特殊但重要的情况下，其特征值和特征向量的分布。这些分布的性质强烈依赖于均值张量/矩阵 $\bar D$ 的对称性。当 $\bar D$ 具有重特征值时，$D$ 的特征值不渐近服从高斯分布，并且在与相同 $\bar D$ 特征空间对应的特征值之间观察到了排斥现象。我们将这些结果应用于扩散张量成像（DTI），取 $m=3$，解决了检测扩散张量对称性的重要问题，并寻求一种可能产生各向同性高斯分布的实验设计。在三维情况下，当均值张量球对称且噪声为高斯各向同性时，前三个特征值中心矩统计量的渐近分布很简单，可用于检验各向同性。为了应用此类检验，我们使用在单位球面上具有常数权重且阶数为 $t \ge 4$ 的求积规则来设计 DTI 实验，使其具有底层真实张量的各向同性意味着 Fisher 信息各向同性的性质。我们还利用具有 Rician 噪声模型的模拟 DTI 数据解释了这些方法的潜在影响。