非对称实高斯矩阵乘积的实特征值统计

由独立同分布标准实高斯元素构成的随机矩阵具有非零的实特征值期望数。这一性质在独立选取的此类矩阵的乘积中依然存在，并且已知当乘积中矩阵的数量趋于无穷时，所有特征值均为实数的概率趋于1。我们通过给出一个显式的Pfaffian公式来量化有限规模实高斯矩阵乘积的实特征值数量分布，该公式将恰好有$k$个实特征值的概率表示为一个行列式，其元素涉及特定的Meijer G函数。我们还计算了实特征值之间以及复特征值之间相关性的Pfaffian相关核的显式形式。其中最简单的例子——实特征值的特征值密度——通过积分给出了实特征值的期望数。我们进行这些计算的能力依赖于在复平面上构造特定的斜正交多项式，其计算是利用它们与特定随机矩阵平均值的关系来完成的。