标准高斯矩阵乘积的所有特征值均为实数的概率

对于独立的$N \times N$标准高斯随机矩阵$\{X_i\}$，矩阵乘积$P_m = X_m X_{m-1} \cdots X_1$的所有特征值均为实数的概率$p_{N,N}^{P_m}$可以用一个$N/2 \times N/2$（$N$为偶数）或$(N+1)/2 \times (N+1)/2$（$N$为奇数）的行列式表示。该行列式的元素是特定的 Meijer $G$函数。在$m=2$的情况下，高精度计算表明这些元素是$\pi^2$的有理倍数，分母为 2 的幂，并且在$N$的主导阶下，$p_{N,N}^{P_m}$以$(\pi/4)^{N^2/2}$的速度衰减。我们能够证明，对于一般的$m$和大$N$，$p_{N,N}^{P_m} \sim b_m^{N^2}$，其中$b_m$是显式的。本文还给出了当$m \to \infty$时$p_{N,N}^{P_m} \to 1$的解析证明。