实随机 $N\times N\times 2$ 张量的秩概率

我们证明了一个实随机高斯 $N\times N\times 2$ 张量的实秩为 $N$ 的概率 $P_N$ 为 $P_N=(\Gamma((N+1)/2))^N/G(N+1)$，其中 $\Gamma(x)$、$G(x)$ 分别表示伽马函数和 Barnes $G$ 函数。对于奇数 $N$，这是一个有理数；对于偶数 $N$，这是一个乘以 $\pi^{N/2}$ 的有理数。秩为 $N+1$ 的概率为 $1-P_N$。该证明利用了关于实随机高斯 $N\times N$ 矩阵具有 $k$ 个实广义特征值的概率的最新结果。我们还证明，对于大 $N$，$\log P_N= (N^2/4)\log (e/4)+(\log N-1)/12-\zeta '(-1)+{\rm O}(1/N)$，其中 $\zeta$ 是黎曼 zeta 函数。