3-张量的典型秩、非奇异双线性映射与行列式理想

设 $m,n\geq 3$，$(m-1)(n-1)+2\leq p\leq mn$，且 $u=mn-p$。所有尺寸为 $u\times n\times m$ 实张量的集合 $\mathbb{R}^{u\times n\times m}$ 与双线性映射 $\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^u$ 的集合一一对应。我们证明 $\mathbb{R}^{m\times n\times p}$ 具有多个典型秩 $p$ 和 $p+1$ 当且仅当存在非奇异双线性映射 $\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{u}$。我们证明在 $\mathbb{R}^{u\times n\times m}$ 中存在一个稠密开子集 $\mathscr{O}$，使得对任意 $Y\in\mathscr{O}$，以某种方式由 $Y$ 定义的矩阵的最大子式理想是素理想，并且若其不是实素理想，则其实根是无关极大理想。进一步，我们证明在 $\mathbb{R}^{ n\times p \times m}$ 中存在稠密开子集 $\mathscr{T}$ 以及连续满开映射 $\nu\colon\mathscr{O}\to\mathbb{R}^{u\times p}$ 和 $\sigma\colon\mathscr{T}\to\mathbb{R}^{u\times p}$，其中 $\mathbb{R}^{u \times p}$ 是元素为实数的 $u\times p$ 矩阵的集合，使得若 $\nu(Y)=\sigma(T)$，则 $\mathrm{rank} T=p$ 当且仅当由 $Y$ 定义的矩阵的最大子式理想是实素理想。