半高实三阶张量的典型秩

设 $m$、$n$ 和 $p$ 为整数，满足 $3\leq m\leq n$ 且 $(m-1)(n-1)+1\leq p\leq (m-1)m$。我们在之前的论文中已证明，若 $p\geq (m-1)(n-1)+2$，则实数字段上 $p\times n\times m$-张量的典型秩为 $p$ 和 $p+1$ 当且仅当存在非奇异双线性映射 $\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{mn-p}$。我们还证明了“若”部分在 $p=(m-1)(n-1)+1$ 的情形下也成立。本文考虑 $p=(m-1)(n-1)+1$ 的情形，并证明在若干情形下（包括不存在非奇异双线性映射 $\mathbb{R}^m\times \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^{mn-p}$ 的情形）实数字段上 $p\times n\times m$-张量的典型秩为 $p$ 和 $p+1$。特别地，我们证明了上述事实的“仅当”部分在 $p=(m-1)(n-1)+1$ 时不成立。