双线性形式子空间的秩与维数之间的联系

设 $K$ 为域，$V$ 为 $K$ 上 $n$ 维向量空间。令 $M$ 为定义在 $V\times V$ 上的双线性形式的一个子空间。令 $r$ 为 $M$ 中元素所取的不同非零秩的个数。我们的目标是在不同假设下给出 $\dim M$ 关于 $r$ 与 $n$ 的上界。作为我们所证结果的示例，我们提及如下结论。设 $m$ 为 $M$ 中元素秩所取到的最大整数。若 $m\leq \lceil n/2\rceil$ 且 $|K|\geq m+1$，则有 $\dim M\leq rn$。$r=1$ 的情形对应于常秩空间，且有一个猜想：当 $M$ 为常秩 $m$ 空间且 $|K|\geq m+1$ 时，$\dim M\leq n$。我们证明：只要 $|K|\geq m+1$ 且 $K$ 为有限域，或 $K$ 的特征异于 2 且 $M$ 由对称形式组成，则常秩 $m$ 空间 $M$ 的维数上界成立。一般地，我们证明若 $M$ 为常秩 $m$ 子空间且 $|K|\geq m+1$，则 $\dim M\leq \max\,(n,2m-1)$。我们还给出了关于有限域上常秩子空间（尤其是交错或对称双线性形式子空间）的更细致结果。