再探有界秩矩阵的大空间

设 $n,p,r$ 为正整数，且 $n \geq p\geq r$。一个 $n$ 行 $p$ 列矩阵（元素取自某域）的秩-$\overline{r}$ 子集是指其中每个矩阵的秩都小于或等于 $r$ 的子集。Flanders 的一个经典定理指出，秩-$\overline{r}$ 线性子空间的维数必须小于或等于 $nr$，并刻画了具有临界维数 $nr$ 的空间。后来，Atkinson、Lloyd 和 Beasley 在基数较大的域上研究了维数接近临界值的线性子空间；他们的结果最近被推广到所有域。利用一种新方法，我们在所有域上得到了大维数秩-$\overline{r}$ 仿射子空间的分类。然后，利用该分类，我们将已知所有域上秩-$\overline{r}$ 线性子空间结构的（大）维数范围扩大了一倍。