大子空间中给定秩的矩阵

设 $V$ 是 $M_{n,p}(K)$ 的一个线性子空间，其余维数小于 $n$，其中 $K$ 是任意域且 $n \ge p$。在作者最近的一项工作中，证明了除非 $n=p=2$ 且 $K$ 同构于 $\mathbb{F}_2$，否则 $V$ 总是由其秩为 $p$ 的矩阵张成。在此，我们给出了余维数 $\text{codim } V$ 的一个充分条件，使得对于给定的 $1$ 到 $p-1$ 之间的 $r$，$V$ 由其秩为 $r$ 的矩阵张成。这涉及对关于幂零矩阵线性子空间的 Gerstenhaber 定理的推广。