具有常秩的反对称矩阵仿射子空间

对每个$n \in \mathbb{N}$和每个域$K$，令$A(n,K)$为$K$上反对称$(n \times n)$矩阵构成的向量空间。若$S$中每个矩阵都有秩$r$，则称$A(n,K)$的仿射子空间$S$具有常秩$r$。定义{\cal A}_{antisym}^K(n;r)= \{ S \;| \; S \; \mbox{\rm affine subspace of $A(n,K)$ of constant rank } r\} $$a_{antisym}^K(n;r) = \max \{\dim S \mid S \in {\cal A}_{antisym}^K(n;r) \}.$$本文我们证明如下公式：对$n \geq 2r +2$ $$a_{antisym}^{\mathbb{R}}( n; 2r) = (n-r-1) r ;$$对$n=2r$ $$a_{antisym}^{\mathbb{R}}( n; 2r) =r(r-1) ;$$对$n=2r+1$ $$a_{antisym}^{\mathbb{R}}( n; 2r) = r(r+1) .$$