特定矩阵的仿射子空间的最大维数

对于每个 $n \in \mathbb{N}$ 和每个域 $K$，令 $N(n,K)$ 为 $K$ 上幂零 $n \times n$ 矩阵的集合，令 $D(n,K)$ 为 $K$ 上可在 $K$ 上对角化的 $n \times n$ 矩阵的集合。此外，令 $R(n)$ 为正规 $n \times n$ 矩阵的集合。在这篇短文中，我们证明 $N(n,K)$ 中仿射子空间的最大维数为 $\frac{n(n-1)}{2}$，并且，如果域的特征为零，则 $N(n,K)$ 中的非线性仿射子空间的维数小于或等于 $\frac{n(n-1)}{2}-1$。此外，我们证明 $R(n)$ 中仿射子空间的最大维数为 $n$，$D(n, \mathbb{R})$ 中线性子空间的最大维数为 $\frac{n(n+1)}{2}$，而 $D(n, \mathbb{R})$ 中非线性仿射子空间的最大维数为 $\frac{n(n+1)}{2} -1$。