由伽罗瓦理论得到的交错双线性形式的常秩子空间

设 $L/K$ 为次数 $n = 2m$ 的循环扩张。已知 $L$ 上的交错 $K$-双线性形式（斜对称形式）空间 $\text{Alt}_K(L)$ 分解为以 $\text{Gal}(L/K) = \langle \sigma \rangle$ 的元素为指标的 $K$-子空间 $A^{\sigma^i}$ 的直和。亦已知分量 $A^{\sigma^i}$ 可具有良好的常秩性质。我们增强并丰富了这些常秩结果，并证明分量 $A^\sigma$ 常直接分解为常秩子空间之和，即其中所有非零斜对称形式均具有固定秩 $r$ 的子空间。特别地，当 $-1 \not \in L^2$ 时这总是成立。由此我们推导出了在若干有趣情形下 $\text{Alt}_K(L)$ 分解为常秩子空间的结果。我们还证明了在 $A^{\sigma^i}$ 中总可找到一个维数为 $\frac{n}{2}$ 的子空间，其所有非零斜对称形式均非退化，其中 $\sigma^i$ 的阶可被 $2$ 整除。