一个更强的常秩定理

受 Liouville 方程整体解的一维刚性结果启发，我们考虑半线性方程 \begin{align} \label{liouvilleequationab} \Delta u=G(u) \quad \mbox{in $\mathbb{R}^n$}, \end{align}其中 $G>0, G'<0$ 且 $GG^{''}\le A(G')^2$，且 $A>0$。设 $u$ 为光滑凸解，$\sigma_k(D^2 u)$ 为关于 $D^2u$ 的第 $k$ 个初等对称多项式。我们证明如下意义的更强常秩定理。（1）当 $A\le 2$ 时，若 $\sigma_2(D^2u)$ 取局部最小值，则 $D^2 u$ 具有常秩 $1$。（2）当 $A\le \frac{n}{n-1}$ 时，若 $\sigma_n(D^2 u)$ 取局部最小值，则 $\sigma_n(D^2 u)$ 在区域内恒为零。