对数 Schr"odinger 方程的幂律收敛与凹性

我们研究正解对数 Schr"odinger 方程 $-\Delta u=u\, \log u^2$ 在一般凸域内带 Dirichlet 边界条件的正解的凹性质。为此，我们分析辅助 Lane-Emden 问题 $-\Delta u = \sigma\, (u^q-u)$，并为任意 $\sigma>0$ 和 $q>1$ 构建解 $u_q$，使得 $u_q^{(1-q)/2}$ 为凸函数。通过取 $\sigma_q=2/(q-1)$ 并令 $q \to 1^+$，我们最终构造满足 $\log u$ 为凹函数的对数 Schr"odinger 方程解。这似乎是少数几项研究超线性、符号变化源项凹性质的尝试之一。为取得该结果，我们既检视了常数秩定理，又发展了凸上图上的 Liouville 定理，这些技术可能在其他框架中也有用。