共形变形下椭圆方程解的凹性性质

我们研究加权 Schrödinger 算子 $$-\Delta u +Vu = \lambda \rho u,$$ 的 Dirichlet 问题，其中 $\rho$ 是正加权函数，$V$ 是势函数。此类方程自然出现在共形几何和复合膜问题中。我们的主要目标是建立关于共形联络的主特征函数的凹性估计。由此，我们得到了基本能隙问题（即第一和第二特征值之差）的新界限。特别地，我们部分解决了 Nguyen、Stancu 和 Wei [IMRN 2022] 关于 horoconvex 区域基本能隙的猜想。此外，对于球面几何中不太大的凸区域上的扭转问题，我们得到了其解的幂凸性估计。