退化Monge-Ampère方程解的Liouville定理
偏微分方程分析
2014-01-20 v1
摘要
本文给出了Jörgens著名定理的一个新证明，该定理指出R^2中det∇²u(x)=1的每个经典凸解必为二次多项式。我们的论证不使用复分析，并且可以应用于建立一类退化Monge-Ampère方程解的此类Liouville型定理。我们证明，R^2中det∇²u(x₁,x₂)=|x₁|^α（α>-1）的每个凸广义（或Alexandrov）解必为u(x₁,x₂)= a/((α+2)(α+1)) |x₁|^(2+α) + (a b²)/2 x₁² + b x₁ x₂ + 1/(2a) x₂² + ℓ(x₁,x₂)，其中a>0，b为常数，ℓ(x₁,x₂)为线性函数。这项工作受具有非负高斯曲率的Weyl问题启发。
引用
@article{arxiv.1211.6183,
title = {A Liouville theorem for solutions of degenerate Monge-Amp\`ere equations},
author = {Tianling Jin and Jingang Xiong},
journal= {arXiv preprint arXiv:1211.6183},
year = {2014}
}
备注
Submitted, 15 pages